Somme des n premiers entiers

Propriété
Pour tout entier naturel  $n$ non nul,  $\boxed{{\displaystyle 1+2+3+...+n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}}$ . 

Exemples 

• Pour  $n=100$ , on a :
    $1+2+3+...+100=\frac{100(100+1)}{2}=(10100)/2=5050$ . 
  
• Pour     $n=2024$ , on a :  $1+2+3+...+2024=\frac{2024(2\text{0}24+1)}{2}=(4098600)/2=2049300$ . 
  

Démonstration

L'astuce de cette démonstration réside dans le fait de calculer  $2S$  et de regrouper les termes astucieusement. 

Soit  $n$ entier naturel non nul, on note :  $S=1+2+3+...+n$ . 
D'une part,  $S=1+2+3+...+(n-1)+n$
et d'autre part,  $S=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1$ . 

Donc,  $2S=(n+1)+((n-1)+2)+((n-2)+3)+...+(2+(n-1))+(1+n)$ . 
C'est-à-dire, 

$2S=\underset{nfois}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(1+n)}}$

Alors,  $2S=n(n+1)$ . Enfin,  $S=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Illustration

Cette démonstration peut se visualiser. Par exemple, pour  $n=6$ , on calcule  $2S$  en organisant les termes de façon à former  $$ $6$  lignes constituées chacune de  $7(=6+1)$  points. 
On obtient alors :  $2\times (1+2+3+4+5+6)=6\times 7$ , c'est-à-dire : $1+2+3+4+5+6=\frac{42}{2}=21$ .